不知道该如何评价吧,很神的一道题,就算是10年前的题目也不可小觑啊。
Description
某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料,不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后,将每种原材料取出一定量,经过融解、混合,得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。 现在,用户给出了n种他们需要的合金,以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料,并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。
Input
第一行两个整数m和n,分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行,每行三个实数a, b, c,分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行,每行三个实数a, b, c,分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。
Output
一个整数,表示最少需要的原材料种数。若无解,则输出–1。
Sample Input
10 10
0.1 0.2 0.7 0.2 0.3 0.5 0.3 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.5 0.1 0.4 0.6 0.2 0.2 0.7 0.3 0 0.8 0.1 0.1 0.9 0.1 0 1 0 0 0.1 0.2 0.7 0.2 0.3 0.5 0.3 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.5 0.1 0.4 0.6 0.2 0.2 0.7 0.3 0 0.8 0.1 0.1 0.9 0.1 0 1 0 0Sample Output
5
HINT
m, n ≤ 500,a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1。
Solution
先说一个结论:设v1,v2...vn是n个向量,a1,a2...an是n个未知常数,且a1+a2+...+an=定值d。
那么合成向量V=a1v1+a2v2+...+anvn一定位于向量dv1,dv2...dvn构成的凸包内。
不知道怎么证明的可以先从两个向量的情况开始YY一下,小C就不多做解释了。
所以这题想干啥?三维凸包?仔细一想还不一定是凸包,因为它要求点数最少。
我们发现这个向量实际上是只有两维的,因为确定了两维之后,第三维是完全确定的。
所以就只剩两维了,但还是不能从凸包入手,怎么办?这时我们需要一些窒息操作。
题目要求我们在m个点中求一个点数(边数)最小的多边形,把n个点全部包在内。
这个多边形上的边一定满足所有n个点都在这条边的一侧。
所以找这个多边形就相当于从一个点出发,每次只走n个点都在一侧的边,走最少的边数,回到起点!
所以问题就变成了在有向图上找最短长度的环!最短路径问题!!
m只有500,用Floyd就行,为了拿排名你可以选择Dijkstra,由于边长只有1你甚至可以bfs。
注意一开始要把答案为1和答案为2的情况特判掉。
#include#include #include #include #define INF 0x3FFFFFFF#define MN 505#define eps 1e-12using namespace std;struct vec{ double x,y; friend vec operator-(const vec& a,const vec& b) { return (vec){a.x-b.x,a.y-b.y};} friend double operator/(const vec& a,const vec& b) { return a.x*b.y-a.y*b.x;} friend double abs(const vec& a) { return a.x*a.x+a.y*a.y;}}a[MN],b[MN];int dis[MN][MN];int n,m,ans;inline int read(){ int n=0,f=1; char c=getchar(); while (c<'0' || c>'9') { if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();} return n*f;}bool cmp1(const vec& A,const vec& B) { return A.y m) return 0*printf("1"); } sort(a+1,a+n+1,cmp1); for (i=1;i eps) break; if (a[i].y!=a[j].y) { if (b[i].y a[j].y) break;} else { if (b[i].x a[j].x) break;} } if (k>m) return 0*printf("2"); } memset(dis,62,sizeof(dis)); for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j) if (i!=j&&check(a[i],a[j])) dis[i][j]=1; for (k=1;k<=n;++k) for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); ans=dis[0][0]; for (i=1;i<=n;++i) if (dis[i][i]>2) ans=min(ans,dis[i][i]); if (ans==dis[0][0]) return 0*printf("-1"); printf("%d",ans);}
Last Word
从计算几何转化为图论模型,这种题目还真是少见啊,转化这种东西没有一定的脑洞还真没法想出来。